线性回归基本介绍

回归在数学上来说是给定一个点集，能够用一条曲线去拟合之，如果这个曲线是一条直线，那就被称为线性回归，如果曲线是一条二次曲线，就被称为二次回归，回归还有很多的变种，如locally weighted回归，logistic回归，等等，这个将在后面去讲。

一元线性回归

回归分析（Regression Analysis)是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。比如下面的示例：

  图-广告费和销售额的拟合直线】

  图-身高和体重的拟合直线

多元回归

有多个因变量和一个因变量，二者的关系是多维空间的平面，数据的分布或者在平面上，或者在平面下侧，或者在平面上侧：

回归过程描述

用一个很简单的例子来说明回归，这个例子来自很多的地方，也在很多的open source的软件中看到，比如说weka。大概就是，做一个房屋价值的评估系统，一个房屋的价值来自很多地方，比如说面积、房间的数量（几室几厅）、地段、朝向等等，这些影响房屋价值的变量被称为特征(feature)，feature在机器学习中是一个很重要的概念，有很多的论文专门探讨这个东西。在此处，为了简单，假设我们的房屋就是一个变量影响的，就是房屋的面积。

假设有一个房屋销售的数据如下：

面积(m^2) 销售价钱（万元）

123 250

150 320

87 160

102 220

… …

这个表类似于帝都5环左右的房屋价钱，我们可以做出一个图，x轴是房屋的面积。y轴是房屋的售价，如下：

如果来了一个新的面积，假设在销售价钱的记录中没有的，我们怎么办呢？

我们可以用一条曲线去尽量准的拟合这些数据，然后如果有新的输入过来，我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。如果用一条直线去拟合，可能是下面的样子：

绿色的点就是我们想要预测的点。

首先给出一些概念和常用的符号，在不同的机器学习书籍中可能有一定的差别。

房屋销售记录表 - 训练集(training set)或者训练数据(training data), 是我们流程中的输入数据，一般称为x

房屋销售价钱 - 输出数据，一般称为y

拟合的函数（或者称为假设或者模型），一般写做 y = h(x)

训练数据的条目数(#training set), 一条训练数据是由一对输入数据和输出数据组成的

输入数据的维度(特征的个数，#features)，n

下面是一个典型的机器学习的过程，首先给出一个输入数据，我们的算法会通过一系列的过程得到一个估计的函数，这个函数有能力对没有见过的新数据给出一个新的估计，也被称为构建一个模型。就如同上面的线性回归函数。

我们用X1，X2..Xn 去描述feature里面的分量，比如x1=房间的面积，x2=房间的朝向，等等，我们可以做出一个估计函数：

θ在这儿称为参数，在这儿的意思是调整feature中每个分量的影响力，就是到底是房屋的面积更重要还是房屋的地段更重要。
为了如果我们令X0 = 1，就可以用向量的方式来表示了：

我们程序也需要一个机制去评估我们θ是否比较好，所以说需要对我们做出的h函数进行评估，一般这个函数称为损失函数（loss function）
或者错误函数\(error function\)，描述h函数**不好**的程度，在下面，我们称这个函数为J函数在这儿我们可以做出下面的一个错误函数：

这个错误估计函数是去对x\(i\)的估计值与真实值y\(i\)差的平方和作为错误估计函数，前面乘上的1/2是为了在求导的时候，这个系数就不见了。